Model GARCH wykorzystywany jest przy modelowaniu i przewidywaniu zmienności w szeregach czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej.
Wzór ogólny
\[ GARCH(p, q): \sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\epsilon_{t-i}^2} + \sum_{j=1}^{q}{\beta_j\sigma_{t-j}^2} \]
Najczęściej omawiany przypadek
\[ GARCH(1, 1): \sigma_t^2=\omega+{\alpha\epsilon_{t-1}^2} + {\beta\sigma_{t-1}^2} \]
\(\omega\) - bazowy poziom wariancji warunkowej
\(\alpha\) – współczynnik reakcji na nowe informacje (efekt ARCH)
\(\beta\) – współczynnik pamięci zmienności (efekt GARCH)
\(\epsilon_{t-1}^2\) – kwadrat błędu z kroku \(t-1\)
\(\sigma_{t-1}^2\) – wariancja z kroku \(t-1\)
\[ \text{reszta} = \epsilon_t = \text{predyktowany zwrot} - \text{średni zwrot} \]
\[ \text{standaryzowana reszta} = \frac{\epsilon_t}{\sigma_t} \]
Rozkład normalny (domyślna opcja): "normal"
Rozkład t-Studenta – grube ogony rozkładu: "t"
Skośny rozkład t-Studenta – grube ogony i skośność: "skewt"
Implementacja
Stała średnia (domyślna opcja): "constant"
Zerowa średnia: "zero"
Średnia modelowana jako proces AR: "AR" (np. AR(1), AR(2), …)
Implementacja
… na szacowaną zmienność warunkową
Korelacja między wynikami
| Constant Mean | AR Mean | Zero Mean | |
|---|---|---|---|
| Constant Mean | 1.000000 | 0.999939 | 0.999400 |
| AR Mean | 0.999939 | 1.000000 | 0.999390 |
| Zero Mean | 0.999400 | 0.999390 | 1.000000 |
Model GARCH zakłada, że zmienność reaguje symetrycznie na zdarzenia rynkowe. W praktyce jednak negatywne informacje (np. spadki cen) wywołują silniejszy wzrost zmienności niż pozytywne.
umożliwia większy wpływ negatywnych szoków na zmienność poprzez dodatkowy warunkowy składnik \((\gamma > 0)\)
\[ \sigma^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^o\gamma_jI_{\{\epsilon_{t-j}<0\}}\epsilon_{t-j}^2+\sum_{k=1}^q\beta_k\sigma_{t-k}^2 \]
Implementacja
\[ \ln\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{p}\alpha_{i}\left(\left|e_{t-i}\right|-\sqrt{2/\pi}\right)+\sum_{j=1}^{o}\gamma_{j} e_{t-j}+\sum_{k=1}^{q}\beta_{k}\ln\sigma_{t-k}^{2}, \]
gdzie \(e_{t}=\epsilon_{t}/\sigma_{t}\).
wykładniczy GARCH
parametry występujące w modelu nie muszą być dodatnie
Implementacja
… polegają na ciągłym dopasowywaniu i predykowaniu (1. step forward) przyszłości z uwzględnieniem nowych obserwacji.
… czyli poszerzające się okno ruchome
… czyli stałe okno ruchome